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【概率规律】一个排列组合问题答案深入研究，规律行走路线
这篇文章的起源是备课时被一道题目卡住了，看过答案之后，觉得里面的某些文字还是不太理解，于是探究了一番，姑且得到了能让学过排列组合基础知识的孩子们能理解的讲述方法，所以记录在此。“解答再探”这种继续研究答案细节的文章，以后可能会做成一个系列。
用A、B、C、D、E、F六种燃料去染下图的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有______种不同的染色方案（旋转算不同方法）。
顺便说，“六种燃料”可能是错别字，正确说法可能是“六种染料”。
即使是再研究答案，也得先理解题意。题目说用六种染料去染下图的两个调色盘，那就是染色问题。接着说“要求每个调色盘里的六种颜色不能相同”，这句话得具体琢磨琢磨，是“每个调色盘”里的六种颜色不能相同，那第一个调色盘中，就只能是A，B，C，D，E，F六个颜色都要用到，这样才能做到“六种颜色不能相同”，第二个调色盘也是这样，由此能联想到的是，这就得用“排序”来区分染色种类的不同了。
接下来是“且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复”，拆解一下，是“相邻四种颜色”，在“两个调色盘”里，不能重复，举个例子比较好理解。比如第一盘中有颜色ABCD连续，第二盘中就不能出现ABCD连续的情况。
然后是问题，共有多少种不同的染色方案。还有括号里的文字，“旋转算不同方法”，这句话也可以举例子理解，无非就是：
因为是答案再研究，所以看看解答怎么说。（解答来自网络）
【答案】 在一个调色盘里有有6×5×4×3×2×1=720种染法；再看另外一个调色盘，相邻的四种颜色重复分为4个重复，5个重复和6个重复，由于5个重复6个就必然重复，所以只要分4和6两种就行了．4种颜色重复有6种情况，6种颜色重复。
【解析】 由于有两个调色盘，先在两个调色盘中选一个，则在这个调色盘里有6×5×4×3×2×1=720种染法，再看另外一个调色盘，相邻的四种颜色重复分为4个重复，5个重复和6个重复，但由于5个重复6个就必然重复，所以只要分4和6两种就行了。4种颜色重复有6种情况，6种颜色重复只有1种。每种情况经旋转可变出6种。所以共有6×5×4×3×2×1-1×6-6×6=678。总共有678×720=488160种。
阅读一下就知道，虽然分为【答案】和【解析】，但【答案】更像解析，【解析】更像答案，而且两部分文字重复内容也比较多，所以只看【解析】就可以。
【解析】开始的话好理解，“由于有两个调色盘，先在一个调色盘里染色”，6个格的颜色互不相同，所以一共有：
接着说的是，“再看另一个调色盘”，这也好理解，因为两个调色盘有“不能相同”的部分，所以先确定一个的染色方法，再确定另一个。然后是“相邻的四种颜色重复分为4个重复，5个重复和6个重复”，这句话属于“看起来好像是懂了，但如果深究的话不一定懂”的类型，具体分析一下，这里说的“4个重复，5个重复和6个重复”其实应该是“只有4个相邻格重复”，“只有5个相邻格重复”和“只有6个相邻格重复”，因为仅“4个重复”这几个字，是可以包含在4个相邻格重复的基础上共有5个格或者6个格重复的，所以在此要理解得更详细些。“重复”具体指的是第二个调色盘和第一个调色盘有4个相邻格相同的情况。比如：
“但由于5个重复6个就必然重复”，这句话说的是当第二调色盘中有5个格的颜色和第一调色盘中5个格的颜色相同时，也就等同于6个格的颜色相同，因为只有6个格，只有6个不同颜色。
“所以只要分4和6两种就行了”很好理解，因为“5个重复”和“6个重复”完全一样，所以统计染法时看作一种就可以。
接下来是计算过程，“4种颜色重复有6种情况”。我刚看到这句话是确实是感觉“对对对，是这样”，不过想到怎么跟孩子们说能更明白时，就不知道该怎么说了，所以其实我还是没明白，得具体研究，也就是为什么4种颜色重复时有6种情况（6种染法）。
还是提示一下自己，“4种颜色重复”指的是“第二个调色盘中只有4个相邻格的颜色和第一个调色盘中的4个相邻格颜色相同”，还是举个例子好理解。
再具体分析一下，上图中，以中间的竖直线段为分割线，从上方右侧字母A开始，逆时针绕行，分别为A，B，C，D，E，F，如果我们规定“A，B，C，D”为“4个相邻格且颜色相同”，左侧调色盘不动，右侧调色盘中原“E，F”的位置，就必须变成E在上，F在下了。如果是另外一种情况，即F在上，E在下，那就和左侧调色盘完全一样，这就不属于“4种重复”，而是“6种重复”。
插个话，如果这样的话，好像可以把“4种重复”和“6种重复”一起统计，不用分开。不过在此，还是按照答案来分析。
答案说的“4种颜色重复有6种情况”，我们刚刚找到了1种。然后看看第2种是什么。因为刚才我们锁定了A，B，C，D的组合以及顺序不动，所以要和左侧调色盘保持“4个重复”，好像就只能换锁定的组合了。那就按照逆时针转着来，这次锁定B，C，D，E，那剩余的F，A就要和左侧调色盘不同，变成这样：
因为刚才寻找“4种重复”的方式有规律，有顺序，所以继续操作就可以，找到6种情况：
然后是“6种颜色重复只有1种”，这个很好理解，就是右侧调色盘和左侧完全一样，所以是1种：
后面的那句话有点歧义，说的是“每种情况经旋转可变出6种”，注意【解析】中这句话前面的句号，指的是“4种重复”的6种情况，和“6种重复”的1种情况，都可以旋转变出6种。这也对应后面的算式：
“所以共有6×5×4×3×2×1-1×6-6×6=678”中“-1×6-6×6”，1种和6种每个数都乘以了6。
那就牵扯到一个问题，问什么要旋转，为什么旋转之后可以有6种情况。
如果刚开始想不明白，可以先旋转一下看看，还是左侧调色盘不动，右侧转一下：
这属于“6种重复”对应的“1种”，旋转之后的样子，按照【解析】的说法，它算作“6种重复”的1种，旋转变出来的第1种。但目前看起来，好像也不能算作1种。这个位置我也确定了挺长时间，然后我看了下题目原文的一句话“且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复”，也就是说，只要右侧调色盘里出现“相邻四种颜色在两个调色盘里重复”，就要去掉，所以这句话指的是两个调色盘的“相对位置”，决定性因素不是位置不一样所以不能算作“6种重复”，而是只要是按照“ABCDEF”的顺序排在一起相邻，就算做相同。所以，在此可以确定“6种重复”的1种，可以旋转变出1×6=6种：
照此推理方式，“4种重复”中的每1种，也可以经过旋转，变出6种：
类似地，“4种重复”的其它5种情况也都可以分别衍生出6种，所以一共是6×6=36种。
再所以，以上的6种和36种都属于“且相邻四种颜色在两个调色盘里重复”的情况，所以要去掉。然后看看【解析】的最终算式：
所以共有6×5×4×3×2×1-1×6-6×6=678。总共有678×720=488160种。
第一个算式好理解一些，说的就是右侧调色盘，逻辑是“全部情况减掉不符合条件的情况”，不符合条件的就是刚才计算的6种+36种共42种，全部情况是右侧调色盘的全排列，也就是不考虑与左侧调色盘重不重复的所有可能，即右侧调色盘满足条件的有：
接下来解决最后一个问题，为什么“总共有678×720=488160种”中是678“乘以”720？
首先，720种来自于左侧调色盘的所有可能，也就是左侧调色盘一共有720种染色方式，而右侧调色盘是根据题意搭配左侧调色盘的，所以意味着左侧调色盘的每一种染色方式，都会搭配右侧调色盘678种染色方式，所以就是720×678种，即：
整体分析一遍，其实有助于我们了解每一步的细节，也能更深入理解“排列组合”公式和算法的意义，同时也能在解决其它题目时引发灵感。
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